Parameter b bei der Sinusfunktion

Parameter b bei der Sinusfunktion Übung

• Beschreibe den Einfluss des Parameters $b$.

  Tipps

  Überlege, wie sich die Sinusfunktion ändert, wenn du den Wert von $x$ verkleinerst oder vergrößerst.

  Wie ist der Verlauf einer einfachen Sinusfunktion?

  Wo hat sie ihre Maxima und Minima?

  Wie ändern sie sich, solltest du die $x$-Werte verändern?

  Lösung

  Hier wird der Text noch einmal mit ausgefüllten Lücken aufgeschrieben. Danach folgen die Erklärungen dazu.

  In der Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot \sin[b\cdot(x-d)]+e$ ist die Variable $b$ für die Änderung der Frequenz verantwortlich.

  • Im Allgemeinen beschreibt der Wert, aus dem wir den Sinus nehmen, immer die Frequenz. Der $x$-Wert beschreibt dabei immer einen Durchlauf von $0\pi$ bis $2\pi$, der Wert von $b$ ist dabei eine Änderung dieser Frequenz, also, ob mehr oder weniger Schwingungen pro Zeiteinheit beschrieben werden.

  Wir betrachten die Funktionsgleichung $f(x)=\sin(b\cdot x)$.

  Nehmen wir für $b$ zum Beispiel den Wert $b=\mathbf1$, erhalten wir eine normale Sinusfunktion mit der Wertetabelle

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2\cdot \pi & \pi & \frac 3 2\cdot \pi & 2 \cdot \pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0\\ \end {array} $

  • Die Wertetabelle beschreibt eine normale Sinusfunktion. Wenn wir in die Funktionsgleichung $f(x)=\sin(b\cdot x)$ eine $1$ einsetzen, erhalten wir $f(x)=\sin(b\cdot x)=\sin(1\cdot x)=\sin(x)$.

  Nehmen wir für $b$ den Wert $b=\mathbf{-1}$, erhalten wir die folgende Wertetabelle

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2\cdot \pi & \pi & \frac 3 2\cdot \pi & 2 \cdot \pi \\ \hline y & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\ \end {array} $

  • Wenn wir $b=-1$ in die Funktionsgleichung einsetzen, werden alle Werte von $x$ negativ. Wenn du dir die normale Sinusfunktion anschaust, betrachten wir so nicht mehr die Funktionswerte bei $x=\frac 1 2 \pi$ und so weiter, sondern nun bei den negativen $x$-Werten, also zum Beispiel $x=-\frac 1 2 \pi$. Und die Sinuswerte der negativen $x$-Werte haben immer das jeweils andere Vorzeichen als die Sinuswerte der positiven $x$-Werte.

  Es liegt also eine Spieglung an der $x$-Achse vor, da bei negativen Werten von $b$ das Vorzeichen der Funktionswerte wechselt.

  • Die Vorzeichen der Sinuswerte ändern sich immer, wenn wir die Vorzeichen der $x$-Werte ändern. Auf diese Weise erhalten wir eine Spieglung an der $x$-Achse.

  Allgemein gilt also: Ist der Parameter $b$ negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion an der $x$-Achse gespiegelt.

  • Dies ist nochmal eine Zusammenfassung. Allgemein gilt, dass wir das Vorzeichen der Funktionswerte ändern, sollten wir das Vorzeichen der $x$-Werte ändern.

• Bestimme, welche Aussagen über den Parameter $b$ richtig sind.

  Tipps

  Hier sehen wir eine normale Sinusfunktion mit einer Periodenlänge von $2\pi$.

  Die Periodenlänge ist der Kehrwert der Frequenz.

  Wenn wir diesen Graphen der Sinusfunktion in $x$-Richtung stauchen wollen, dann wird die Periodenlänge kleiner. Da die Frequenz der Kehrwert der Periodenlänge ist, muss sie deshalb größer werden.

  Der Parameter $b$ ist ein Maß für diese Veränderung der Frequenz.

  Ein größeres $b$ bedeutet also eine höhere Frequenz.

  Wie muss sich $b$ also verhalten, wenn du eine kleine Frequenz haben willst und somit den Graphen der Sinusfunktion strecken willst?

  Lösung

  Wir besprechen jede Aussage einzeln.

  1. Wenn wir in die Funktionsgleichung $f(x)=\sin(b\cdot x)$ den Wert $b=1$ einsetzen, verändert sich die Funktionsgleichung folgendermaßen: $f(x)=\sin(b\cdot x)=\sin(1\cdot x)=\sin(x)$. Wir bekommen also eine ganz normale Sinusfunktion. Die Aussage war also falsch.
  2. Wir setzen in die Funktionsgleichung $f(x)=\sin(b\cdot x)$ den Wert $b=-1$ ein. Dadurch wechseln alle $x$-Werte das Vorzeichen. Die Vorzeichen der Funktionswerte sind aber bei negativen $x$-Werten auch umgekehrt. Die Funktionswerte wechseln also auch ihre Vorzeichen. Dadurch wird der Graph der Sinusfunktion praktisch an der $x$-Achse gespiegelt. Die Aussage war also auch falsch.
  3. Setzen wir in die Funktionsgleichung $f(x)=\sin(b\cdot x)$ eine Zahl $|b|>1$, so erhöhen wir die Frequenz, es erfolgen also mehr Schwingungen bei gleichem Wert von $x$. Die einzelnen Schwingungen werden dadurch in $x$-Richtung gestaucht. Diese Aussage war also richtig.
  4. Wir setzten in $f(x)=\sin(b\cdot x)$ einen Wert $0<|b|<1$. Die $x$-Werte werden dadurch also kleiner. Wenn wir zum Beispiel für $b=\frac 1 2$ setzen, rechnen wir statt $\sin(2\pi)$ einen veränderten Wert, nämlich $\sin(\frac 1 2 \cdot 2\pi)=\sin(\pi)$. Die Frequenz wird dadurch also länger, es sind weniger Schwingungen pro Zeiteinheit. Normalerweise wäre bei $x=2\pi$ die Schwingung einmal komplett beschrieben worden, doch durch $b=\frac 1 2$ wurde erst eine halbe Schwingen beschrieben. Die Sinusfunktion wurde also in $x$-Richtung gestreckt. Die Aussage war also falsch.
  5. Diese Aussage ist eine Kombination aus zwei anderen Aussagen. Wenn wir für $b$ eine negative Zahl einsetzen, deren Betrag größer ist als $1$, spiegeln wir den Graphen der Sinusfunktion nicht nur an der $x$-Achse, wir stauchen ihn auch in $x$-Richtung. Diese Aussage war also richtig.

• Ermittle die Funktionsgleichungen für die Wertetabellen.

  Tipps

  Die Wertetabelle für eine normale Sinusfunktion lautet

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2\cdot \pi & \pi & \frac 3 2\cdot \pi & 2 \cdot \pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 &-1 & 0\\ \end {array} $

  Der Parameter $b$ ist ein Maß für die Veränderung der Frequenz.

  Wenn die Frequenz ansteigt, muss die Periodendauer kleiner werden.

  Sollte sich die Frequenz zum Beispiel verdoppeln, muss sich die Periodendauer halbieren.

  Lösung

  Wir wollen die Funktionsgleichungen aufstellen und betrachten dazu die Wertetabellen einzeln. Wir suchen jeweils den Parameter $b$ in der Funktionsgleichung $f(x)= \sin(b\cdot x)$

  • Erste Wertetabelle

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 3 2 \pi & 3\pi & \frac 9 2 \pi & 6 \pi \\ \hline y & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\ \end {array} $

  Zunächst finden wir heraus, ob $b$ positiv oder negativ ist. Dazu sehen wir uns die Wertetabelle an. Bei einer normalen Sinusfunktion kommt nach dem Koordinatenursprung immer als Erstes ein lokales Maximum. Hier liegt als Erstes aber bei $x=\frac 3 2 \pi$ ein Minimum vor. Wir haben also einen negativen Parameter $b$.

  Nun suchen wir nach dem Betrag von $b$. Wir schauen uns dazu die Dauer einer einzelnen Periode an. Bei einer normalen Sinusfunktion dauert sie $2\pi$. Es dauert $2\pi$, bis eine komplette Schwingung durchlaufen ist. Allgemein gilt, dass die Periodendauer der Kehrwert der Frequenz ist. Wenn wir den Parameter $b$ ausrechnen wollen, benutzen wir die Formel $|b|= 2\pi : x_5$. Der Wert $x_5$ steht für den Wert auf der $x$-Achse nach einer kompletten Schwingungsperiode. Wir setzen also eine

  $|b|= 2\pi : x_5=2\pi : 6\pi= \frac 1 3$.

  Wir wissen schon das $b$ negativ sein muss. Es gilt also $b=-\frac 1 3$.

  Nun können wir die komplette Funktionsgleichung aufstellen

  $f(x)=\sin(-\frac 1 3 \cdot x)$.

  • Zweite Wertetabelle

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & 2 \pi & 4\pi & 6 \pi & 8 \pi \\ \hline y & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\ \end {array} $

  Wir untersuchen wieder als Erstes, ob der Parameter positiv oder negativ ist. Dazu blicken wir wieder auf die Wertetabelle und sehen, dass als Erstes ein Minimum auftritt. Damit ist der Parameter wieder negativ, da der Graph an der $x$-Achse gespielt ist. Sonst würde ja als Erstes ein Maximum auftreten.

  Als nächstes berechnen wir wieder den Betrag von $b$ mit der Formel $|b|= 2\pi : x_5$ und setzen direkt ein

  $|b|= 2\pi : x_5=2\pi : 8\pi=\frac 1 4$

  Mit der Information, dass $b$ negativ ist, können wir die Funktionsgleichung wieder aufstellen

  $f(x)=\sin(-\frac 1 4 \cdot x)$

  • Dritte Wertetabelle

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 {10} \pi & \frac 1 5 \pi & \frac 3 {10} \pi & \frac 2 5 \pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0\\ \end {array} $

  Wir finden die Funktionsgleichung wieder auf die gleiche Weise

  $f(x)=\sin (5\cdot x)$

  • Vierte Wertetabelle

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 8 \pi & \frac 1 4 \pi & \frac 3 8 \pi & \frac 1 2 \pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0\\ \end {array} $

  Auch bestimmen wir wieder $b$, um so die Funktionsgleichung aufstellen zu können

  $f(x)=\sin (4\cdot x)$

• Leite die richtigen Werte für den Parameter $b$ her.

  Tipps

  Vergiss nicht, dass wir den Graphen an der $x$-Achse spiegeln, sollte ein negativer Parameter $b$ vorliegen.

  Der Parameter $b$ gibt die Veränderung der Frequenz an. Wenn eine hohe Frequenz vorliegt, muss die Schwingung in $x$-Richtung gestaucht werden.

  Die Frequenz ist auch der Kehrwert der Periodendauer, eine hohe Frequenz heißt also eine kleine Periodendauer.

  Stelle zu jedem Diagramm eine Wertetabelle auf.

  So kannst du die Übersicht behalten.

  Lösung

  Wir betrachten jedes Diagramm einzeln und stellen dann die Funktionsgleichungen auf. Wir stellen zunächst zu jedem Diagramm eine Wertetabelle auf.

  • Erstes Diagramm

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 4 \pi & \frac 1 2 \pi & \frac 3 4 \pi & \pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0\\ \end {array} $

  Wir sehen, dass der Parameter $b$ positiv sein muss, da hier als Erstes ein Maximum vorliegt.

  Nun überprüfen wir noch den Betrag des Parameters. Wir suchen dazu nach dem $x$-Wert, bei dem die Schwingung einmal vervollständigt wird. Wir blicken in die Wertetabelle und sehen, dass dies bei $x_5=\pi$ der Fall ist.

  Nun setzen wir diesen gefundenen Wert ist die Gleichung $|b|=2\pi : x_5$ ein. Wir bekommen so

  $|b|=2\pi : x_5=2\pi : \pi = 2$

  Nun können wir die Funktionsgleichung aufstellen

  $f(x)=\sin (2\cdot x)$

  • Zweites Diagramm

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \pi & 2 \pi & 3 \pi & 4 \pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0\\ \end {array} $

  Wir sehen wieder, dass wir einen positiven Parameter $b$ haben.

  Den Betrag des Parameters $b$ berechnen wir wieder durch die Formel $|b|=2\pi : x_5$. Wir sehen in der Wertetabelle, dass $x_5=4\pi$ ist, da hier der Graph eine Schwingung komplett vollzogen hat. Wir setzen also ein und erhalten

  $|b|=2\pi : x_5=2\pi : 4\pi=\frac 1 2$

  Mit dem Wissen, dass $b$ positiv ist, können wir die Funktionsgleichung aufstellen

  $f(x)=\sin (\frac 1 2 \cdot x)$

  • Drittes Diagramm

  Wir finden die Funktionsgleichung wieder auf dem gleichen Weg.

  $f(x)=\sin(-4\cdot x)$

  • Viertes Diagramm

  Auch hier können wir die Funktionsgleichung auf dieselbe Weise finden

  $f(x)=\sin (\frac 2 3 \cdot x)$

• Beschreibe den Einfluss des Parameters $b$.

  Tipps

  Vergiss nicht, dass der Parameter $b$ die Änderung der Frequenz beschreibt.

  Ein höheres $b$ bedeutet also eine höhere Frequenz.

  Diese normale Sinusfunktion hat eine Periodenlänge von $2\pi$.

  Die Frequenz ist der Kehrwert der Periodenlänge.

  Wenn wir diesen Graphen also stauchen wollen, verkleinert sich die Periodenlänge, denn nun wird zum Beispiel nur noch $1\pi$ für eine komplette Schwingung gebraucht.

  Die Frequenz nimmt somit also zu. Und der Parameter $b$ ist ein Maß dafür.

  Ein größeres $b$ bedeutet also eine größere Frequenz.

  Lösung

  Wir betrachten jedes Paar einzeln.

  1. Zunächst betrachten wir die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=\sin(b\cdot x)$. Wenn wir nun $b=1$ setzen, wird die Funktionsgleichung zu $f(x)=\sin(b\cdot x)=\sin(1\cdot x)=\sin(x)$. In diesem Fall wird der Graph der Sinusfunktion also zu einer normalen Sinusfunktion.
  2. Wenn wir in die Funktionsgleichung $f(x)=\sin(b\cdot x)$ den Wert $b<0$ einsetzen, wechseln die $x$-Werte ihre Vorzeichen. In diesem Fall wechseln auch die Funktionswerte ihre Vorzeichen. Der Graph der Sinusfunktion wird also an der $x$-Achse gespiegelt.
  3. Es gilt $|b|>1$ für die Funktionsgleichung $f(x)=\sin(b\cdot x)$. Die $x$-Werte bekommen also einen größeren Betrag. Der Wert $b$ steht für die Änderung der Frequenz. Wenn wir höhere Frequenzen haben, werden die Schwingungen gestaucht, da die Frequenz ein Maß für die Anzahl an Schwingungen pro Zeiteinheit ist. Eine höhere Frequenz heißt mehr Schwingungen, in unserem Fall pro $2\pi$. Und wenn der Graph öfter schwingen soll, müssen die einzelnen Schwingungen kürzer werden. Also wird der Graph der Sinusfunktion in $x$-Richtung gestaucht.
  4. Für $f(x)=\sin(b\cdot x)$ setzen wir $0<|b|<1$. Nun haben wir genau den umgekehrten Fall zu Paar Nummer 3. Hier haben wir eine kleinere Frequenz und damit weniger Schwingungen pro Zeiteinheit. Der Graph wird also in $x$-Richtung gestreckt.

• Ermittle die passenden Parameter $b$ und $e$.

  Tipps

  Wir betrachten die Funktionsgleichung $f(x)=\sin(b\cdot x)+e$.

  Der Parameter $e$ steht hier für die Verschiebung auf der $y$-Achse.

  Am besten kannst du $e$ bestimmen, indem du die Verschiebung einer Stelle überprüfst, die du kennst.

  Die normale Sinusfunktion, auch die die eine veränderte Frequenz hat, hat eine Nullstelle im Koordinatenursprung. Diese Stelle ist nun nach oben oder nach unten verschoben.

  Schneidet ein Graph die $y$-Achse nun nicht mehr bei $y=0$, sondern bei $y=5$, so ist $e=5$.

  Lösung

  Den Parameter $e$ bestimmen wir, indem wir überprüfen, wie weit die Nullstelle im Koordinatenursprung nach oben oder unten verschoben wurde.

  Den Parameter $b$ überprüfen wir wieder mit einer Wertetabelle.

  • Erstes Diagramm

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c} x & 0 & \pi & 2 \pi & 3 \pi \\ \hline y & -1 & -2 & -1 & 0 \\ \end {array} $

  Den Parameter $e$ können wir an der Stelle ablesen, wo der Graph die $y$-Achse schneidet. Es ist hier bei $e=-1$

  Wir sehen, dass der Parameter $b$ negativ sein muss. Denn anders als bei der normalen Sinusfunktion, liegt hier als erstes Extremum ein Minimum vor. Somit muss der Graph der Sinusfunktion an der $x$-Achse gespiegelt sein.

  Wenn wir den Betrag des Parameters ausrechnen wollen, benutzen wir die Formel $|b|=2\pi : x_5$, wobei der Wert $x_5$ immer der $x$-Wert ist, nachdem eine Schwingung komplett durchgeführt ist. Hier ist $x_5=4\pi$. Wir rechnen also

  $|b|=2\pi : x_5= 2\pi : 4\pi= 0{,}5$

  Da wir wissen, dass $b$ negativ sein muss, können wir nun die Funktionsgleichung aufstellen

  $f(x)=\sin (-0{,}5 \cdot x)-1$

  • Zweites Diagramm

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 6 \pi & \frac 1 3 \pi & \frac 1 2 \pi & \frac 2 3\pi \\ \hline y & 2 & 3 & 2 & 1 & 2\\ \end {array} $

  Den Parameter $e$ können wir wieder an der $y$-Achse ablesen. Er ist $e=2$.

  Wir sehen, dass hier das erste Extremum ein Maximum ist. Der Parameter $b$ muss also positiv sein, da hier scheinbar keine Spieglung an der $x$-Achse vorliegt.

  Wir berechnen den Betrag des Parameters wieder mit der Formel $|b|=2\pi : x_5$, wobei hier $x_5=\frac 2 3\pi$ ist. Wir rechnen also

  $|b|=2\pi : x_5= 2 \pi : \frac 2 3 \pi =2 \cdot \frac{3}{2\pi}=3 $

  Da $b$ positiv ist, schreiben wir als Funktionsgleichung

  $f(x)=\sin (3 \cdot x)+2$

  • Drittes Diagramm

  Wir berechnen wieder unsere Parameter und erhalten so die Funktionsgleichung

  $f(x)=\sin (-2 \cdot x)-2$

  • Viertes Diagramm

  Auch hier bestimmen wir wieder die Parameter und stellen dann die Funktionsgleichung auf

  $f(x)=\sin(8\cdot x)+1$