Sehnen- und Tangentenvierecke

Sehnen- und Tangentenvierecke Übung

• Fasse zusammen, welche Eigenschaften Vierecke haben, die einen Um- oder Inkreis besitzen.

  Tipps

  Ein Kreis ist durch die Eigenschaft definiert, dass alle Punkte gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind.

  Mittelsenkrechten teilen eine Strecke so, dass beide Eckpunkte gleich weit von ihr entfernt sind. Winkelhalbierende teilen einen Winkel so, dass die beiden den Winkel bildenden Seiten gleich weit von ihr entfernt sind.

  Lösung

  „Vierecke, die einen Umkreis haben, werden als Sehnenvierecke bezeichnet, da sie aus Sehnen dieses Kreises bestehen. Ein Viereck zählt genau dann zu dieser Klasse, wenn sich alle seine Mittelsenkrechten in einem Punkt treffen.“

  • Das kannst du dir folgendermaßen erklären: Die Mittelsenkrechte teilt eine Strecke in zwei gleich große Teile und steht außerdem senkrecht auf dieser Strecke (sie tut also genau das, was ihr Name vermuten lässt). Das heißt, dass jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten genau gleich weit von den zwei Eckpunkten der geteilten Strecke entfernt ist. Treffen sich nun alle Mittelsenkrechten in einem Punkt, so sind von diesem Punkt folglich alle Eckpunkte gleich weit entfernt. Das bedeutet, dass wir einen Umkreis um den Schnittpunkt durch diese vier Punkte ziehen können, da es die definierende Eigenschaft eines Kreises ist, dass alle Punkte gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind. Außerdem wird immer das komplette Viereck (bis auf die Eckpunkte) innerhalb des Kreises liegen, da keiner der Punkte auf den Seiten des Vierecks weiter von den Mittelsenkrechten entfernt liegt als die Eckpunkte.

  „Hat ein Viereck hingegen einen Inkreis, dann wird es als Tangentenviereck bezeichnet, da es aus Tangenten dieses Kreises besteht. Solche Vierecke besitzen die Eigenschaft, dass sich alle Winkelhalbierenden in einem Punkt treffen.“

  • Hier kannst du dir vorstellen, dass zwei Seiten, die einen Winkel bilden, an jedem Punkt gleich weit von der Winkelhalbierenden entfernt liegen. Treffen sich nun alle vier Winkelhalbierenden in einem Punkt, so bedeutet das, dass es vier Punkte auf den Seiten des Vierecks gibt, die alle gleich weit vom Schnittpunkt entfernt sind. Durch diese vier Punkte verläuft dann der Inkreis. Und da alle anderen Punkte auf den Seiten des Vierecks weiter weg vom Schnittpunkt liegen, wird sich der Kreis auch immer komplett innerhalb des Vierecks befinden (bis auf die Berührpunkte).

  „Ein Viereck, das sowohl einen In- als auch einen Umkreis hat, wird als Sehnentangentenviereck bezeichnet. Ein Beispiel hierfür ist das Quadrat, bei dem sogar die Mittelpunkte beider Kreise zusammenfallen.“

  • Ein Quadrat hat die besondere Eigenschaft, dass sich seine Seitenhalbierenden und Winkelhalbierenden im selben Punkt treffen.

• Bestimme, welche Vierecke Sehnen- und Tangentenvierecke sind.

  Tipps

  Ein Sehnenviereck hat einen Umkreis, ein Tangentenviereck einen Inkreis.

  Beim Quadrat fallen der Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden und der Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten zusammen.

  Lösung

  Das Rechteck und das symmetrische Trapez sind Sehnenvierecke, da sich ihre Mittelsenkrechten jeweils in einem Punkt schneiden.

  Das Drachenviereck und, als Spezialfall davon, die Raute, sind Tangentenvierecke, da sich ihre Winkelhalbierenden jeweils in einem Punkt schneiden.

  Das Quadrat ist ein Sehnentangentenviereck, da sich sowohl Mittelsenkrechten als auch Winkelhalbierende in einem Punkt schneiden. Diese Punkte fallen beim Quadrat sogar zusammen.

  Das Parallelogramm ist im Allgemeinen weder Sehnen- noch Tangentenviereck, da sich weder seine Mittelsenkrechten noch seine Winkelhalbierenden in einem Punkt schneiden. Eine Ausnahme stellt die Raute dar, die auch als Spezialfall eines Parallelogramms angesehen werden kann.

  Ein beliebiges Viereck ist im Allgemeinen ebenfalls weder Sehnen- noch Tangentenviereck.

• Untersuche, ob die Vierecke einen Um- oder Inkreis besitzen.

  Tipps

  Ein Quadrat ist sowohl ein Rechteck als auch eine Raute.

  Ein Viereck hat genau dann einen Umkreis, wenn sich alle Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden. Es hat genau dann einen Inkreis, wenn sich alle Winkelhalbierenden in einem Punkt schneiden.

  Lösung

  Das Rechteck und das symmetrische Trapez besitzen einen Umkreis.

  Das Drachenviereck und die Raute besitzen einen Inkreis.

  Das Quadrat besitzt beides: Sowohl Um- als auch Inkreis.

  Das Parallelogramm und die beiden anderen Vierecke, die in keine der besonderen Kategorien fallen, besitzen keins von beidem.

• Bestimme, welche Aussagen zu Sehnen- und Tangentenvierecken wahr sind.

  Tipps

  In einem Sehnenviereck treffen sich alle Mittelsenkrechten in einem Punkt, in einem Tangentenviereck alle Winkelhalbierenden.

  Ein Quadrat ist gleichzeitig auch Rechteck, Parallelogramm, Trapez und vieles mehr.

  Lösung

  In der Mathematik ist es oft wichtig, präzise Formulierungen zu treffen, um Missverständnisse zu vermeiden. Betrachten wir beispielsweise den Unterschied zwischen den folgenden zwei Aussagen:

  • Ein Rechteck ist ein Quadrat, wenn alle vier Seiten gleich lang sind.

  • Ein Rechteck ist nur dann ein Quadrat, wenn alle vier Seiten gleich lang sind.

  Die zweite Aussage ist hier besser formuliert, da sie genau spezifiziert, dass es keine andere Möglichkeit gibt, aus einem Rechteck ein Quadrat zu machen – diese Information ist in der ersten Aussage nicht enthalten. Es gibt einige Formulierungen, die den Informationsgehalt einer Aussage auf ähnliche Weise steigern, wie beispielsweise „genau dann“, „immer“ oder „niemals“. Allerdings muss man bei solchen endgültigen Formulierungen auch vorsichtig sein, da man damit möglicherweise Sonderfälle außer Acht lässt oder Ausnahmen vergisst.

  Sehen wir uns mit diesen Informationen die folgende Antwortmöglichkeit an:

  • „Ein Trapez kann niemals ein Tangentenviereck sein.“

  Diese Aussage ist falsch, da der Ausdruck „niemals“ in dieser Situation zu stark ist. Zwar ist ein Trapez im Allgemeinen kein Tangentenviereck, allerdings ist als Sonderfall auch das Quadrat ein Trapez, und dieses ist sehr wohl ein Tangentenviereck.

  Die folgenden Aussagen sind ebenfalls falsch:

  • „Jedes Sehnenviereck ist auch Tangentenviereck.“
  • „Jedes Tangentenviereck ist auch Sehnenviereck.“ Es gibt sowohl Vierecke, die einen Um- aber keinen Inkreis haben, als auch solche, die einen In- aber keinen Umkreis besitzen.

  Die folgenden Aussagen sind dagegen richtig:

  • „Du kannst an einen beliebigen Kreis immer sowohl ein Sehnen- als auch ein Tangentenviereck zeichnen.“ Dafür zeichnest du einfach ein Viereck mit den Eckpunkten auf dem Kreis (Sehnenviereck) und vier Tangenten, die ebenfalls ein Viereck bilden (Tangentenviereck).
  • „Eine Raute kann auch ein Sehnenviereck sein.“ Im Allgemeinen ist eine Raute ein Tangentenviereck. Wählt man allerdings das Quadrat als Sonderfall der Raute, liegt ein Sehnentangentenviereck und damit auch ein Sehnenviereck vor.
  • „Ein Parallelogramm ist nur dann ein Sehnenviereck, wenn es ein Rechteck ist.“ Da gegenüberliegende Seiten bei einem Parallelogramm immer parallel sind, sind auch deren Mittelsenkrechten zueinander parallel. Da sich Parallelen aber nie schneiden, ist die einzige Möglichkeit dafür, dass alle vier durch einen Punkt verlaufen, diejenige, dass je zwei davon aufeinanderliegen. Das ist nur bei einem Rechteck gegeben.

• Benenne die Eigenschaften spezieller Vierecke.

  Tipps

  Jede Raute ist auch ein Drachenviereck, doch nicht jedes Drachenviereck ist eine Raute.

  Ein Drachenviereck hat einen Inkreis, weil sich die Winkelhalbierenden in einem Punkt schneiden.

  Ein symmetrisches Trapez hat einen Umkreis, weil sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden.

  Lösung

  • Ein Rechteck zeichnet sich dadurch aus, dass alle Winkel rechte Winkel sind.

  • Ein Parallelogramm besteht aus zwei Paaren gegenüberliegender Seiten, die jeweils zueinander parallel sind.

  • Ein Drachenviereck ist bezüglich einer seiner Winkelhalbierenden achsensymmetrisch. Diese Winkelhalbierende ist also eine Symmetrieachse des Vierecks.

  • Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Beachte hierbei, dass eine Raute auch ein Parallelogramm (da gegenüberliegende Seiten jeweils parallel sind) und ein Drachenviereck (da sogar beide Winkelhalbierenden Symmetrieachsen sind) ist. Es wird allerdings durch die Bedingung eindeutig definiert, dass alle vier Seiten gleich lang sind.

  • Ein symmetrisches Trapez ist bezüglich einer Mittelsenkrechten achsensymmetrisch.

• Berechne die Radien der In- und Umkreise.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras macht Aussagen über Dreiecke, in denen ein Winkel $90^\circ$ beträgt.

  Lösung

  Die Diagonalen der beiden Vierecke sind jeweils die Durchmesser ihrer Umkreise, da sie von einem Punkt des Kreises durch den Mittelpunkt zu einem anderen Punkt des Kreises verlaufen. Damit bilden die Diagonalen jeweils mit zwei Seiten ihres Vierecks ein rechtwinkliges Dreieck. In diesen Dreiecken lässt sich die dritte Seitenlänge mit Hilfe des Satzes des Pythagoras immer ausrechnen, sofern die beiden anderen Seitenlängen bekannt sind.

  Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

  „Das abgebildete Rechteck ist ein Sehnenviereck, hat also einen Umkreis. Dessen Radius $r_1$ berechnen wir, indem wir die Diagonale des Rechtecks betrachten. Sie ist gleichzeitig der Durchmesser des Kreises, also der doppelte Radius.

  Deren Länge berechnen wir mit dem Satz des Pythagoras. Dieser trifft Aussagen über die Seitenlängen rechtwinkliger Dreiecke und lautet:

  $a^2+b^2=c^2$.

  Dabei ist $c$ die Länge der längsten Seite (Hypotenuse), $a$ und $b$ sind die Längen der beiden anderen Seiten (Katheten). Setzen wir hier die gegebenen Werte ein und stellen nach $c$ um, so erhalten wir

  $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{144+25}=13$.

  Damit ist der Radius des Kreises $r_1=\frac{c}{2}=6,5$.

  Beim Quadrat verfahren wir genau nach dem gleichen Prinzip. Hier ist $a=b=10$, und wir können die Diagonale nach dem gleichen Schema wie oben ausrechnen. Wir erhalten:

  $c=\sqrt{100+100}\approx14,14$.

  Der Radius ist nun wieder die Hälfte dieses Wertes, also:

  $r_2\approx7,07$.