Lineare Funktionen

Was sind lineare Funktionen?

Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form $f(x)=y=m\cdot x+b$ hat, heißt lineare Funktion. Dabei sind nur $x$ und $y$ Variablen. $m$ und $b$ sind Parameter, die im Falle einer konkreten Funktion auch konkrete Zahlenwerte annehmen. Diese Zahlen bestimmen den Verlauf der linearen Funktion eindeutig. Lineare Funktionen werden durch die Form $y=m\cdot x+b$ bestimmt, die Gleichungen nicht-linearer Funktionen können nicht in diese Form überführt werden. Der Graph einer linearen Funktion hat im Koordinatensystem den Verlauf einer Geraden. Hier siehst du den Graphen der linearen Funktion $f(x)=\frac{2}{3} x+2$:

Was sind proportionale Funktionen?

Ist der Parameter $b=0$, dann geht die Funktionsgleichung einer linearen Funktion über in die Form $y=m\cdot x$. Funktionen mit solchen Funktionsgleichungen sind ein Spezialfall der linearen Funktionen und heißen proportionale Funktionen. Der Graph einer proportionalen Funktion hat im Koordinatensystem den Verlauf einer Geraden und geht durch den Ursprung des Koordinatensystems. Mit proportionalen Funktionen kannst du proportionale Zusammenhänge untersuchen. Proportionale Zusammenhänge kennst du bspw. aus Aufgaben zum Dreisatz. Ein Beispiel für einen proportionalen Zusammenhang ist ein Auto, das mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit fährt: Wenn es mit $50~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ fährt, dann legt es in einer Stunde $50~\text{km}$ zurück und in vier Stunden $200~\text{km}$.

Was bedeuten die Parameter $m$ und $b$?

Wenn du mit linearen Funktionen rechnest, musst du sehr häufig die beiden Parameter $m$ und $b$ bestimmen. Der Parameter $b$ bezeichnet den $y$-Achsenabschnitt, also die Stelle, an der der Graph die $y$-Achse schneidet. Manchmal wird er auch mit $n$ bezeichnet.

Der Parameter $m$ taucht bei proportionalen und linearen Funktionen auf. Er bezeichnet den Anstieg oder die Steigung der Funktion. Die Steigung gibt an, um welchen Betrag sich der $y$-Wert der Funktion verändert, wenn man den $x$-Wert um $1$ erhöht. Ist die Steigung positiv, steigt der Graph der Funktion, ist sie negativ, fällt der Graph.

Merkhilfe

Wenn $m$ größer wird, wird die zugehörige Gerade steiler.

Wenn du die Parameter $m$ und $b$ kennst, kannst du den Graphen der Funktion zeichnen oder ermitteln, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt oder nicht. Du kannst dann auch die Nullstelle ausrechnen, also die Stelle, an der der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet. Umgekehrt kannst du aus zwei gegebenen Punkten die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen.

Wie kann man mit den Parametern $m$ und $b$ den Funktionsgraphen zeichnen?

Die Parameter $m$ und $b$ sind für eine lineare Funktion sehr wichtig. Wir können nämlich allein mithilfe von $m$ und $b$ und ohne Wertetabelle den Funktionsgraphen zeichnen. Dies wollen wir einmal anhand dieser Funktionsgleichung zeigen:

$ f(x)=\frac 23x−2$

Zuerst zeichnen wir den $y$-Achsenabschnitt bei $y=−2$. Die Steigung unserer Funktion ist $m=\frac 23$. Wir gehen vom Schnittpunkt mit der $y$-Achse aus $3$ Einheiten nach rechts und von dort $2$ Einheiten nach oben. So erhalten wir einen weiteren Punkt der Geraden.

Wir verbinden die beiden Punkte miteinander und erhalten so unsere Gerade.

Wie berechnet man mit den Parametern $m$ und $b$ die Nullstellen linearer Funktionen?

Betrachte die lineare Funktion $f(x)=2x+2$. Die Nullstellen erhältst du, indem du die Gleichung $f(x)=0$ löst:

$\begin{array}{rcll} 2x+2 &=& 0 & \vert -2 \\ 2x &=& -2 & \vert :2 \\ x &=& -1 & \end{array}$

Die zugehörige Gerade schneidet die $x$-Achse bei $x=-1$.

Wie stellt man die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auf, wenn man zwei Punkte der Funktion kennt?

Betrachte eine Gerade, die durch die beiden Punkte $P(1\vert 1)$ und $Q(-2\vert {-1})$ verläuft. Die Steigung dieser Geraden erhältst du wie folgt:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-1-1}{-2-1}=\frac{-2}{-3}=\frac 23$

Setzt du einen der beiden Punkte und die Steigung $m$ in die Normalform einer linearen Funktion $f(x)=m\cdot x+b$ ein, kannst du diese nach $b$ umstellen und schließlich mit den Parametern $m$ und $b$ die gesuchte Funktionsgleichung angeben:

$\begin{array}{rcll} 1 &=& \frac 23 \cdot 1+b & \\ 1 &=& \frac 23 +b & \vert -\frac 23 \\ \frac 13 &=& b & \\ \end{array}$

Also lautet die Funktionsgleichung: $~f(x)=\frac 23x+\frac 13$